0%
← Back
🌐

ম্যাট্রিক্সের রাজ্যে স্বাগতম!

MATHLands-এর এই বিশেষ জগতে ম্যাট্রিক্সের সব রহস্য শেখো — গল্প, গেম ও WBCHSE প্রশ্ন সহ।

১৫+
ধারণা
৩০+
প্রশ্ন
৩
গেম
১০০%
বাংলা
📖গল্পের শুরু

কল্পনা করো একটি মুদির দোকান — ৩ পণ্য (চাল, ডাল, আটা), সোমবার বিক্রি ২০, ১৫, ৩০ কেজি; মঙ্গলবার ১০, ২৫, ২০ কেজি। এই তথ্য সারি-স্তম্ভে সাজালেই হলো একটি ম্যাট্রিক্স! গণিতবিদ আর্থার কেলি ১৮৫৮ সালে এই ধারণাটি প্রতিষ্ঠা করেন।

📐
সংজ্ঞা ও ক্রম
শুরু এখানে →
🔷
প্রকারভেদ
১২+ প্রকার
⚙️
ক্রিয়া ও গণনা
যোগ · গুণ
🔄
পরিবর্ত ধর্ম
গুরুত্বপূর্ণ!
🎮
গেম
৩টি গেম
📝
বোর্ড কুইজ
১০ MCQ
📋
চিটশিট — পরীক্ষার আগে দ্রুত দেখো
সব সূত্র একসাথে
🧮পাঠ ১ — ম্যাট্রিক্স কী?

তিনজন ছাত্রের গণিত, বিজ্ঞান, বাংলার নম্বর একটি সারণিতে সাজালে যে আয়তাকার সংখ্যার বিন্যাস পাও — সেটাই ম্যাট্রিক্স!

📌
সংজ্ঞা

বাস্তব বা জটিল সংখ্যার একটি আয়তাকার বিন্যাসকে তৃতীয় বন্ধনীতে আবদ্ধ করে ম্যাট্রিক্স বলে।

A = [aᵢⱼ]ₘₓₙ → m সারি (row) ও n স্তম্ভ (column)

aᵢⱼ = i-তম সারি ও j-তম স্তম্ভের উপাদান

📏
ক্রম (Order)

সারি × স্তম্ভ = ক্রম। মোট উপাদান = m × n।

[
1
2
3
4
5
6
]
A → ক্রম 2×3

🔍
উপাদান নির্ণয় — উদাহরণ

A = [aᵢⱼ]₂ₓ₂ যেখানে aᵢⱼ = i + 2j

a₁₁ = 1+2(1) = 3 | a₁₂ = 1+2(2) = 5 a₂₁ = 2+2(1) = 4 | a₂₂ = 2+2(2) = 6
[
3
5
4
6
]
A = [i+2j]₂ₓ₂

📌 WBCHSE পরীক্ষায় এই ধরন প্রায়ই আসে!

⚡ দ্রুত কুইজ

০/২
aᵢⱼ = ½(i+2j)² এবং A একটি 2×2 ম্যাট্রিক্স হলে a₂₁ = ?
একটি 3×4 ম্যাট্রিক্সে মোট উপাদান সংখ্যা কত?
🎭পাঠ ২ — ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ

প্রতিটি ব্লকে ট্যাপ করো এবং সেই ধরনের বিশেষত্ব দেখো!

➡️
সারি ম্যাট্রিক্স
Row Matrix (1×n)
▼

মাত্র একটি সারি বিশিষ্ট ম্যাট্রিক্স।

[
2
-1
4
]
1×3 সারি ম্যাট্রিক্স
⬇️
স্তম্ভ ম্যাট্রিক্স
Column Matrix (m×1)
▼

মাত্র একটি স্তম্ভ বিশিষ্ট ম্যাট্রিক্স।

[
5
3
-2
]
3×1 স্তম্ভ ম্যাট্রিক্স
⬛
বর্গ ম্যাট্রিক্স
Square Matrix (m=n)
▼

সারির সংখ্যা = স্তম্ভের সংখ্যা। কর্ণ উপাদান: i=j হলে aᵢᵢ।

[
1
2
3
4
5
6
7
8
9
]
কর্ণ: 1, 5, 9
0️⃣
শূন্য ম্যাট্রিক্স
Zero / Null Matrix
▼

সব উপাদান শূন্য। O দ্বারা প্রকাশ। A + O = A।

[
0
0
0
0
]
2×2 শূন্য ম্যাট্রিক্স
\
কর্ণ ম্যাট্রিক্স
Diagonal Matrix
▼

প্রধান কর্ণ ছাড়া সব উপাদান শূন্য। aᵢⱼ=0 (i≠j)।

[
4
0
0
0
-2
0
0
0
7
]
diag(4, -2, 7)
k
স্কেলার ম্যাট্রিক্স
Scalar Matrix
▼

কর্ণ ম্যাট্রিক্স যেখানে সব কর্ণ উপাদান সমান (=k)।

[
5
0
0
0
5
0
0
0
5
]
k=5 স্কেলার ম্যাট্রিক্স
I
একক ম্যাট্রিক্স
Identity Matrix (k=1)
▼

স্কেলার ম্যাট্রিক্স যেখানে k=1। A·I = I·A = A।

[
1
0
0
0
1
0
0
0
1
]
I₃ — 3×3 একক ম্যাট্রিক্স
△
ঊর্ধ্ব ত্রিভুজীয়
Upper Triangular
▼

কর্ণের নিচে সব শূন্য। i>j হলে aᵢⱼ=0।

[
2
3
4
0
5
6
0
0
7
]
ঊর্ধ্ব ত্রিভুজীয়
▽
নিম্ন ত্রিভুজীয়
Lower Triangular
▼

কর্ণের উপরে সব শূন্য। i<j হলে aᵢⱼ=0।

[
1
0
0
4
5
0
7
8
9
]
নিম্ন ত্রিভুজীয়
⟳
পরিবর্ত ম্যাট্রিক্স
Transpose (A')
▼

সারি ↔ স্তম্ভ বদলালে A' পাওয়া যায়। ক্রম m×n → n×m।

[
1
2
3
4
5
6
]
A (2×3)
→
[
1
4
2
5
3
6
]
A' (3×2)
⚖️
প্রতিসম ম্যাট্রিক্স
Symmetric: A'=A
▼

A' = A, অর্থাৎ aᵢⱼ = aⱼᵢ সবার জন্য।

[
2
3
5
3
7
-1
5
-1
4
]
হাইলাইট জোড়াগুলো সমান!
✕
বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স
Skew-Symmetric: A'=-A
▼

A' = -A, aᵢⱼ = -aⱼᵢ। কর্ণ উপাদান সবসময় 0!

[
0
3
-5
-3
0
7
5
-7
0
]
HS Model Q '24-এ এসেছে!

⚡ প্রকারভেদ কুইজ

০/৩
A প্রতিসম এবং বিপ্রতিসম উভয়ই হলে A = ? (HS Model Q '24)
বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্সে কর্ণের উপাদান কত?
নিচের ম্যাট্রিক্স A একটি ___?
[
1
2
3
4
]
A
⚙️পাঠ ৩ — ম্যাট্রিক্সের ক্রিয়া

মনে রেখো — সংখ্যার মতো ম্যাট্রিক্সের সব নিয়ম চলে না!

১. সমতা (Equality)

দুটি ম্যাট্রিক্স সমান যদি ক্রম সমান ও প্রতিটি aᵢⱼ = bᵢⱼ।

উদাহরণ: নিচের দুটি ম্যাট্রিক্স সমান হলে x ও y নির্ণয় করো:

[
2x−y
5
3
y
]
=
[
6
5
3
-2
]
সংগত উপাদান তুলনা: y = -2 এবং 2x - y = 6 → 2x - (-2) = 6 → 2x = 4 → x = 2, y = -2
২. স্কেলার গুণ

kA = প্রতিটি উপাদান × k।

3 ×
[
1
2
3
4
]
A
=
[
3
6
9
12
]
3A
৩. যোগ — শর্ত: সম-ক্রম!

⚠️ শুধু সম-ক্রমের ম্যাট্রিক্সই যোগ করা যায়।

[
1
2
3
4
]
A
+
[
5
-1
0
3
]
B
=
[
6
1
3
7
]
A+B
৪. গুণ (A:m×n, B:n×p → AB:m×p)

AB-এর (i,j) উপাদান = A-এর i-তম সারি × B-এর j-তম স্তম্ভ (ডট প্রোডাক্ট)।

(AB)ᵢⱼ = Σₖ aᵢₖ · bₖⱼ

⚠️ সাধারণত AB ≠ BA!

উদাহরণ — ধাপে ধাপে:

[
1
2
3
4
]
A
×
[
5
6
7
8
]
B
=
[
19
22
43
50
]
AB
(AB)₁₁ = 1×5 + 2×7 = 19 (AB)₁₂ = 1×6 + 2×8 = 22 (AB)₂₁ = 3×5 + 4×7 = 43 (AB)₂₂ = 3×6 + 4×8 = 50

🧮 লাইভ গুণ ক্যালকুলেটর

মান পরিবর্তন করলেই গুণফল আপডেট হবে!
A
×
B
=
AB
19
22
43
50

⚡ ক্রিয়া কুইজ

০/৩
যদি A − 2B =
[
1
5
3
7
]
এবং 2A − 3B =
[
-2
5
0
7
]
হলে B = ?
নিচের A ও B-এর গুণফল AB = ?
A (1×3)
[
1
2
3
]
×
B (3×1)
[
2
3
-1
]
যদি A =
[
4
2
-1
1
]
হলে (A − 2I)(A − 3I) = ? (NCERT)
🔄পাঠ ৪ — পরিবর্ত ধর্মসমূহ

পরিবর্তের (Transpose) কিছু বিশেষ গুণ পরীক্ষায় খুব কাজে লাগে!

১
দ্বৈত পরিবর্ত: (A')' = A
২
যোগের পরিবর্ত: (A+B)' = A'+B'
৩
স্কেলার গুণ: (kA)' = k·A'
৪
গুণের পরিবর্ত (★ গুরুত্বপূর্ণ!):
(AB)' = B'A'
⚠️ ক্রম উল্টে যায়!
৫
A প্রতিসম ⟺ A'=A | বিপ্রতিসম ⟺ A'=-A
৬
যেকোনো বর্গ A = ½(A+A') + ½(A-A')
(প্রতিসম + বিপ্রতিসম)
প্রমাণ — (AB)' = B'A'
[
1
2
3
4
]
A
×
[
5
6
7
8
]
B
=
[
19
22
43
50
]
AB

বামপক্ষ: (AB)ᵀ →

[
19
43
22
50
]
(AB)'

ডানপক্ষ: B'A' →

[
5
7
6
8
]
B'
×
[
1
3
2
4
]
A'
=
[
19
43
22
50
]
B'A'

∴ (AB)' = B'A' প্রমাণিত ✅

PDF উদাহরণ — A'+B' = 2B' সমীকরণ

A+B = 2B' এবং 3A+2B = I₃ হলে A ও B নির্ণয় করো।

3(A+B) - (3A+2B) = 6B' - I₃ → B = 6B' - I₃ ...(i) ট্রান্সপোজ: B' = 6B - I₃ → B+I₃ = 6(6B-I₃) → 35B = 7I₃ → B = (1/5)I₃, A = (1/5)I₃

⚡ পরিবর্ত কুইজ

০/৩
(AB)ᵀ = ?
যদি A =
[
3
-5
-4
2
]
হলে A² − 5A − 14I = ? (NCERT)
যদি A =
[
1
0
-1
7
]
এবং A² − 8A + KI = O হলে K = ?
🎮গেম — খেলো ও শেখো!

তিনটি গেমে নিজেকে যাচাই করো।

🎯 গেম ১: ধরন চেনো!

ম্যাট্রিক্সটি দেখো এবং সঠিক প্রকার নির্বাচন করো।
স্কোর: ০/৮

🧩 গেম ২: ট্রান্সপোজ সম্পন্ন করো

A' নির্ণয় করো। '?' তে ট্যাপ করলে উত্তর দেখাবে!

⚡ গেম ৩: ৩০ সেকেন্ড চ্যালেঞ্জ!

যতটা পারো সঠিক উত্তর দাও!
৩০
স্কোর: ০
📝WBCHSE বোর্ড কুইজ

NCERT + WBCHSE + CBSE পরীক্ষার আলোকে ১০টি MCQ।

📚 MCQ সেট

০/১০
১ A' = A হলে A কে বলে —
২ AB=A এবং BA=B হলে B² = ?
৩ নিচের কোনটি মিথ্যা? (NCERT/WBCHSE)
৪ যদি A =
[
x
y
z
-x
]
এবং A² = I হলে —
৫ যদি A =
[
3
-5
-4
2
]
হলে A² − 5A − 14I = ?
৬ যদি A =
[
1
0
-1
7
]
এবং A² = 8A + KI হলে K = ?
৭ A প্রতিসম ও বিপ্রতিসম উভয়ই হলে A = ?
৮ (AB)' = ?
৯ যদি A =
[
4
2
-1
1
]
হলে (A − 2I)(A − 3I) = ?
১০ যদি 3A + 4B = 2X হয় এবং
A
[
2
4
5
6
]
,
B
[
3
6
5
9
]
হলে X = ?
📋চিটশিট — পরীক্ষার আগে দেখো

সব গুরুত্বপূর্ণ সূত্র ও তথ্য এক জায়গায়!

📊
প্রকারভেদ

নামশর্ত
সারি1×n
স্তম্ভm×1
বর্গm=n
শূন্য (O)সব=0
কর্ণi≠j → aᵢⱼ=0
স্কেলারকর্ণ সব সমান k
একক (I)স্কেলার k=1
ঊর্ধ্ব ত্রিভুজীয়i>j → 0
নিম্ন ত্রিভুজীয়i<j → 0
প্রতিসমA'=A
বিপ্রতিসমA'=-A, কর্ণ=0

⚡
গুরুত্বপূর্ণ সূত্র

১
(A')' = A
২
(A+B)' = A'+B'
৩
(kA)' = k·A'
৪★
(AB)' = B'A'
৫
A·I = I·A = A
৬
A+O = A
৭
A = ½(A+A') + ½(A-A')

⚠️
এড়িয়ে চলো

✗
AB = BA ধরে নেওয়া!
✗
(AB)' = A'B' লেখা → সঠিক: B'A'
✗
AB=O মানেই A=O বা B=O নয়!
✓
গুণের আগে ক্রম মিলিয়ে নাও: m×n × n×p = m×p
🎉
অভিনন্দন!

MATHLands ম্যাট্রিক্স কোর্স সম্পন্ন! এখন WBCHSE পরীক্ষায় ম্যাট্রিক্সের যেকোনো প্রশ্ন সমাধান করতে পারবে।

ম্যাট্রিক্স ✓কুইজ ✓গেম ✓