বর্ধিষ্ণু ও ক্ষয়িষ্ণু
অপেক্ষক
Basic থেকে Advanced — একদিষ্ট অপেক্ষক, Derivative Test, Number Line Method সব কিছু এক জায়গায়। Feel করো, বোঝো, Apply করো।
মনে করো, y = f(x) একটি অপেক্ষক। [a, b] অঞ্চলে x₁ এবং x₂ দুটো বিন্দু নিলাম যেখানে x₁ < x₂।
যদি x₁ < x₂ ⟹ f(x₁) ≤ f(x₂) হয়, তাহলে f বর্ধিষ্ণু।
x বাড়লে y ও বাড়ে — গ্রাফ উপরে উঠে যায় 📈
যদি x₁ < x₂ ⟹ f(x₁) ≥ f(x₂) হয়, তাহলে f ক্ষয়িষ্ণু।
x বাড়লে y কমে — গ্রাফ নিচে নেমে যায় 📉
| ধরন | শর্ত | Strict? | উদাহরণ |
|---|---|---|---|
| একদিষ্ট বর্ধিষ্ণু | x₁ < x₂ ⟹ f(x₁) ≤ f(x₂) | না (≤) | f(x) = c (constant) |
| Strictly Increasing | x₁ < x₂ ⟹ f(x₁) < f(x₂) | হ্যাঁ (<) | f(x) = x³ |
| একদিষ্ট ক্ষয়িষ্ণু | x₁ < x₂ ⟹ f(x₁) ≥ f(x₂) | না (≥) | — |
| Strictly Decreasing | x₁ < x₂ ⟹ f(x₁) > f(x₂) | হ্যাঁ (>) | f(x) = 1/x, x>0 |
দেখাও যে f(x) = (3x+5)/(x+2) অপেক্ষকটি [0,∞) বিস্তারে যথার্থ একটি আরোহী অপেক্ষক।
ধরি 0 ≤ x₁ < x₂
হিসাব করি: f(x₂) - f(x₁) = (3x₂+5)/(x₂+2) - (3x₁+5)/(x₁+2)
সরল করলে: = (x₂ - x₁) / [(x₂+2)(x₁+2)]
যেহেতু x₁ < x₂, তাই x₂ - x₁ > 0, এবং (x₂+2)(x₁+2) > 0
সুতরাং f(x₂) - f(x₁) > 0, অর্থাৎ f(x₂) > f(x₁) — প্রমাণিত ✅
প্রমাণ করো যে [0, π] বিস্তারে φ(x) = cos x একটি যথার্থ অবরোহী অপেক্ষক।
ধরি 0 ≤ x₁ < x₂ ≤ π
φ(x₂) - φ(x₁) = cos x₂ - cos x₁
= -2 sin((x₁+x₂)/2) · sin((x₂-x₁)/2)
যেহেতু 0 < (x₁+x₂)/2 < π, তাই sin((x₁+x₂)/2) > 0
এবং sin((x₂-x₁)/2) > 0
φ(x₂) - φ(x₁) < 0, অতএব φ(x₂) < φ(x₁) — অবরোহী প্রমাণিত ✅
যদি f অপেক্ষকটি [a, b] অঞ্চলে সংতত এবং (a, b) এর প্রতিটি বিন্দুতে অন্তরকলযোগ্য হয়, তাহলে:
(a, b)-তে f বর্ধিষ্ণু হবে যদি এবং কেবলমাত্র যদি সকল x ∈ (a, b)-এর জন্য
Strictly increasing এর জন্য f'(x) > 0
(a, b)-তে f ক্ষয়িষ্ণু হবে যদি এবং কেবলমাত্র যদি সকল x ∈ (a, b)-এর জন্য
Strictly decreasing এর জন্য f'(x) < 0
f'(x) = slope of tangent — স্পর্শকের ঢাল।
📈 ধনাত্মক ঢাল (f' > 0) → ফাংশন উপরে উঠছে → বর্ধিষ্ণু
📉 ঋণাত্মক ঢাল (f' < 0) → ফাংশন নিচে নামছে → ক্ষয়িষ্ণু
➡️ শূন্য ঢাল (f' = 0) → সমতল → neutral point
f'(x) বের করো — f(x) কে x এর সাপেক্ষে differentiate করো
Critical points খোঁজো — f'(x) = 0 সমীকরণ সমাধান করো এবং যেখানে f'(x) অপরিভাষিত সেই বিন্দু নাও
Number line বাও — Critical points গুলো number line এ বসাও
চিহ্ন পরীক্ষা করো — প্রতিটি interval থেকে একটি মান নিয়ে f'(x) এর চিহ্ন দেখো
সিদ্ধান্ত নাও — (+) হলে বর্ধিষ্ণু, (−) হলে ক্ষয়িষ্ণু
নিচের function গুলো দেখো — কোথায় বর্ধিষ্ণু, কোথায় ক্ষয়িষ্ণু সেটা রঙ দিয়ে দেখানো হয়েছে।
x ∈ [2, ∞)
x ∈ (-∞, 2]
f'(x) = 2x - 4। f'(x) = 0 হলে x = 2। x < 2 তে f'(x) < 0 (ক্ষয়িষ্ণু), x > 2 তে f'(x) > 0 (বর্ধিষ্ণু)।
Slider টানো — f(x) = x² − 4x + 3 এর tangent line এর ঢাল কীভাবে পরিবর্তন হচ্ছে দেখো
f(x) = 3x² - 6x + 4 অপেক্ষকটির বর্ধিষ্ণু ও ক্ষয়িষ্ণু বিস্তার নির্ণয় করো।
f'(x) = 6x - 6 = 6(x - 1)
f'(x) = 0 ⟹ x = 1 (Critical point)
Number Line:
f'=0
বর্ধিষ্ণু: x ∈ [1, ∞) | ক্ষয়িষ্ণু: x ∈ (-∞, 1]
দেখাও যে f(x) = x³ - 3x² + 4x -এর মান সর্বদা বৃদ্ধি পায়। (NCERT)
f'(x) = 3x² - 6x + 4 = 3(x² - 2x + 1) + 1 = 3(x-1)² + 1
যেহেতু (x-1)² ≥ 0, তাই 3(x-1)² + 1 ≥ 1 > 0
সুতরাং f'(x) > 0 সকল x-এর জন্য — f সর্বদা বর্ধিষ্ণু ✅
f(x) = sin x + cos x অপেক্ষকটি বর্ধিষ্ণু ও ক্ষয়িষ্ণু কখন?
f'(x) = cos x - sin x = √2 cos(x + π/4)
f'(x) > 0 যখন cos(x + π/4) > 0, অর্থাৎ x ∈ (-π/4, 3π/4) তে বর্ধিষ্ণু
f'(x) < 0 যখন x ∈ (3π/4, 7π/4) তে ক্ষয়িষ্ণু
f(x) = (4x²+1)/x অপেক্ষকটির বর্ধিষ্ণু ও ক্ষয়িষ্ণু বিস্তার নির্ণয় করো।
f(x) = 4x + 1/x → f'(x) = 4 - 1/x² = (4x² - 1)/x²
f'(x) = 0 → 4x² = 1 → x = ±1/2
Critical points: x = -1/2, x = 0 (undefined), x = 1/2
Sign Analysis:
বর্ধিষ্ণু: (-∞, -1/2] ∪ [1/2, ∞)
ক্ষয়িষ্ণু: [-1/2, 0) ∪ (0, 1/2]
f(x) = x³ + 1/x³ (x ≠ 0) — বর্ধিষ্ণু ও ক্ষয়িষ্ণু নির্ণয় করো। (NCERT/CBSE)
f'(x) = 3x² - 3/x⁴ = (3/x⁴)(x⁶ - 1) = (3/x⁴)(x²-1)(x⁴+x²+1)
x⁴ > 0 এবং (x⁴+x²+1) > 0 সর্বদা। তাই চিহ্ন নির্ভর করে (x²-1) এর উপর।
x² > 1 → |x| > 1 → f' > 0 (বর্ধিষ্ণু)
x² < 1 → |x| < 1 → f' < 0 (ক্ষয়িষ্ণু)
বর্ধিষ্ণু: (-∞,-1] ∪ [1,∞) | ক্ষয়িষ্ণু: [-1,0) ∪ (0,1]
যদি a পরামিতির কোন মানের জন্য f(x) = ax³ + 3x² + (2a+1)x + 1000 যথার্থ ক্ষয়িষ্ণু?
f'(x) = 3ax² + 6x + (2a+1)
f সর্বদা ক্ষয়িষ্ণু হতে হলে f'(x) ≤ 0 সর্বত্র হতে হবে।
এটা Quadratic (a < 0 হলে)। তাই: a < 0 এবং Discriminant ≤ 0
D = 36 - 12a(2a+1) ≤ 0 → 36 - 24a² - 12a ≤ 0 → 2a² + a - 3 ≥ 0
(2a+3)(a-1) ≥ 0 → a ≤ -3/2 বা a ≥ 1
a < 0 এবং a ≤ -3/2 → a ≤ -3/2
প্রমাণ করো যে x > 0 হলে log(1+x) > x/(1+x)
ধরি f(x) = log(1+x) - x/(1+x), তাহলে f(0) = 0
f'(x) = 1/(1+x) - [(1+x)-x]/(1+x)² = 1/(1+x) - 1/(1+x)² = x/(1+x)²
x > 0 হলে f'(x) > 0, অতএব f বর্ধিষ্ণু।
f(x) > f(0) = 0, অতএব log(1+x) > x/(1+x) ✅
এই প্রশ্নগুলো আগে নিজে solve করার চেষ্টা করো, তারপর hint দেখো।
f'(x) = 3x² - 3 = 3(x²-1) = 3(x-1)(x+1)
f'(x) < 0 যখন (x-1)(x+1) < 0 → -1 < x < 1
[0,2] তে ক্রমহ্রাসমান বিস্তার: (0,1) উত্তর: (B) (0,1)
f'(x) = μ - cos x
সর্বদা বর্ধিষ্ণু হতে হলে f'(x) ≥ 0 সর্বত্র, অর্থাৎ μ - cos x ≥ 0 সর্বত্র
cos x এর সর্বোচ্চ মান 1, তাই μ ≥ 1
উত্তর: μ ≥ 1
f'(x) = 6x² - 6x - 36 = 6(x² - x - 6) = 6(x-3)(x+2)
Critical points: x = -2, x = 3
x < -2: f' > 0 (বর্ধিষ্ণু) | -2 < x < 3: f' < 0 (ক্ষয়িষ্ণু) | x > 3: f' > 0 (বর্ধিষ্ণু)
বর্ধিষ্ণু: (-∞,-2] ∪ [3,∞) | ক্ষয়িষ্ণু: [-2,3]
f'(x) = -9 + 12x - 3x² = -3(x²-4x+3) = -3(x-1)(x-3)
Critical points: x = 1, x = 3
x < 1: f' = -3(−)(−) = -3(+) < 0 ক্ষয়িষ্ণু
1 < x < 3: f' = -3(+)(−) > 0 বর্ধিষ্ণু
x > 3: f' = -3(+)(+) < 0 ক্ষয়িষ্ণু
বর্ধিষ্ণু: [1,3] | ক্ষয়িষ্ণু: (-∞,1] ∪ [3,∞)
f'(x) এর চিহ্ন বের করার ৩০ সেকেন্ড পদ্ধতি:
f'(x) = (x-a)(x-b)(x-c)... এর মতো factor করো।
Number line এ a, b, c বসাও। সবচেয়ে ডানের interval থেকে শুরু করো (+) দিয়ে, তারপর প্রতিটি critical point পেরিয়ে চিহ্ন বদলে যাও।
যদি f'(x) = (x-a)² × g(x) আকারে হয়, তাহলে (x-a)² সর্বদা ≥ 0, তাই চিহ্ন শুধু g(x) এর উপর নির্ভর করে।
Example: f'(x) = (x-1)²(x-3) → x=1 তে চিহ্ন বদলায় না!
f সর্বদা বর্ধিষ্ণু প্রমাণ করতে দেখাও f'(x) > 0 সর্বত্র।
Common Pattern: f'(x) = (something)² + positive constant → সর্বদা > 0
f'(x) = 3(x-1)² + 1 ≥ 1 > 0 ✓
f সর্বদা বর্ধিষ্ণু/ক্ষয়িষ্ণু হওয়ার শর্ত:
f'(x) = ax² + bx + c → সর্বদা ≥ 0 এর জন্য: a > 0 এবং D ≤ 0
সর্বদা ≤ 0 এর জন্য: a < 0 এবং D ≤ 0
h(x) > 0 বা h(x) < 0 প্রমাণ করতে:
১. g(x) = h(x) বানাও ২. g(a) = 0 দেখাও ৩. g'(x) > 0 দেখাও
তাহলে x > a তে g(x) > 0 → মূল inequality প্রমাণিত!
f'(x) = eˣ > 0 সর্বত্র → সর্বদা strictly increasing ✅
f'(x) = 1/x > 0 যখন x > 0 → (0,∞) তে বর্ধিষ্ণু ✅
f'(x) = sec²x > 0 → strictly increasing ✅
f'(x) = 22/(4x+5)² > 0 → সর্বদা বর্ধিষ্ণু ✅
প্রতিটি ভুল পড়ো, বোঝো কেন ভুল এবং সঠিক পদ্ধতিটি মনে রাখো।
শুধু open interval (a, b) বলা, কিন্তু closed interval [a, b] বলা উচিত ছিল। যেমন: বর্ধিষ্ণু বিস্তার x > 2 বলা — কিন্তু x = 2 তে f' = 0, তবু সেই বিন্দুটা include করা হয়।
f'(x) ≥ 0 হলে [a, b] (closed), f'(x) > 0 হলে (a, b) (open) — কিন্তু সাধারণত বিন্দু include করাই হয়। Endpoint যোগ করো।
f(x) = 1/x এর জন্য সরাসরি বলা "সব x তে ক্ষয়িষ্ণু" — কিন্তু x = 0 তে function defined নয়!
(-∞, 0) তে এবং (0, ∞) তে আলাদা আলাদাভাবে ক্ষয়িষ্ণু — কিন্তু overall ক্ষয়িষ্ণু না! কারণ x = 0 নেই।
f'(x) = (x-2)(x+3) দেখে সরাসরি বলা "x = 2, -3 তে ক্ষয়িষ্ণু"। Sign check না করলে ভুল হয়।
Number line বাও: x < -3 → (+)(+) > 0; -3 < x < 2 → (+)(−) < 0; x > 2 → (+)(+) > 0। তারপর সিদ্ধান্ত নাও।
f'(x) = (x-1)²(x-3) দেখে মনে করা x = 1 তেও চিহ্ন বদলায়।
(x-1)² সর্বদা ≥ 0, তাই চিহ্ন শুধু (x-3) এর উপর নির্ভর করে। x < 3 তে f' < 0, x > 3 তে f' > 0। x = 1 তে চিহ্ন বদলায় না।
Rational function এ denominator = 0 হওয়া বিন্দু উপেক্ষা করা।
f'(x) undefined হওয়া বিন্দুগুলোও critical points। Number line এ রাখো এবং তাদের দুই পাশের interval আলাদা করো।
f(x) = x³ সর্বদা বর্ধিষ্ণু, কিন্তু x = 0 তে f'(0) = 0।
Strictly increasing এর জন্য f' > 0 সর্বত্র দরকার নেই। কোনো interval এ f' = 0 হলেও চলে, যদি শুধু isolated point হয়।
log(1+x) > x/(1+x) প্রমাণে g(x) বানিয়ে g(1) = 0 ধরা — কিন্তু শুরুর বিন্দু x = 0 হওয়া উচিত।
সঠিক বিন্দু হলো x = 0: g(0) = 0। তারপর g'(x) > 0 দেখাও, সুতরাং x > 0 তে g(x) > g(0) = 0।
f'(x) = ax² + bx + c সর্বদা ≥ 0 এর জন্য শুধু a > 0 এবং D ≤ 0 দেওয়া — কিন্তু a = 0 case?
a = 0 হলে f'(x) = bx + c হয়। এটা সর্বদা ≥ 0 হয় না (যদি না b = 0 এবং c ≥ 0)। তাই a > 0 অবশ্যই ধরতে হবে।
| Function | Increasing | Decreasing |
|---|---|---|
| sin x | [-π/2, π/2] | [π/2, 3π/2] |
| cos x | [π, 2π] | [0, π] |
| tan x | (-π/2, π/2) | — (not decreasing in R) |
| eˣ | R (all of R) | — |
| log x | (0, ∞) | — |
| xⁿ (n>0) | [0, ∞) | — |
| 1/x | — | (-∞,0) ও (0,∞) আলাদা আলাদা |
প্রতিটি card-এ click করো — সামনে প্রশ্ন, পেছনে উত্তর।