বীজগণিতের সবচেয়ে আকর্ষণীয় অধ্যায়গুলির একটি — মূলদ ও অমূলদের জগতে তোমাকে স্বাগত! এখানে তুমি ধাপে ধাপে ধারণা বুঝবে, উদাহরণ সমাধান করবে, এবং WBBSE পরীক্ষার জন্য সম্পূর্ণ প্রস্তুতি নেবে।
পুরো অধ্যায়টা এক নজরে দেখো — কোথা থেকে শুরু, কোথায় শেষ।
এই ক্রমানুসারে পড়লে সবচেয়ে ভালো বুঝবে।
আগে বুঝি বর্গমূল কাকে বলে, তারপর এগোবো করণীর দিকে।
রেবার দাদু রেবাকে একটি সাদা বোর্ড কিনে দিয়েছেন। বন্ধু তপেন বোর্ডে একটি ঘর আঁকল এবং ঘরের মধ্যে কিছু ধনাত্মক ও ঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা লিখল। সীমা লিখল 5 ও 4। সীমা দেখল — 5+4=9, 5−4=1, 5×4=20, এগুলো সবই পূর্ণ সংখ্যা। কিন্তু 5÷4 = 5/4 — এটা পূর্ণ সংখ্যা নয়, কিন্তু মূলদ সংখ্যা।
আমরা জানি, কোনো একটি ঋণাত্মক বাস্তব সংখ্যা a-এর বর্গমূল হল ±√a বা ±a½
5 ও 4 এর বর্গমূল নিলে কী পাবে? √5 ও √4 কি পূর্ণ সংখ্যা? একটু চিন্তা করো...
√4 = 2 ✅ (পূর্ণ সংখ্যা) | কিন্তু √5 = 2.2360679... ❌ (পূর্ণ সংখ্যা নয়!)
| ধরন | উদাহরণ | দশমিক |
|---|---|---|
| মূলদ সংখ্যা | √4 = 2, √9 = 3, √25 = 5 | সুনির্দিষ্ট বা পুনরাবৃত্তিমূলক |
| অমূলদ সংখ্যা | √2, √3, √5, ∛7, √20 | সম্পূর্ণরূপে নির্ণয় করা যায় না |
উত্তর দেখার আগে নিজে চেষ্টা করো!
দ্বিঘাত করণী কাকে বলে, শুদ্ধ ও মিশ্র করণী কী — সম্পূর্ণ পরিষ্কার করো।
যদি a এমন একটি ধনাত্মক মূলদ সংখ্যা হয়, যা কোনো মূলদ সংখ্যার বর্গ নয়, তাহলে ±√a আকারের সংখ্যাকে শুদ্ধ দ্বিঘাত করণী (Pure Quadratic Surd) বলা হয়।
আবার, a ± √b আকারের সংখ্যাকে মিশ্র দ্বিঘাত করণী (Mixed Quadratic Surd) বলা হয়, যেখানে a মূলদ সংখ্যা এবং √b শুদ্ধ দ্বিঘাত করণী।
কিন্তু সাবধান! √4 = 2 এবং √25 = 5 — এগুলো করণী নয়, কারণ এদের মান মূলদ সংখ্যা।
√12 ও √28 কি সদৃশ করণী?
√12 = 2√3 এবং √28 = 2√7 → মূলদ গুণিতক কি একই? না! তাহলে এরা অসদৃশ করণী।
ভিন্ন ধরনের করণী কীভাবে যোগ-বিয়োগ করতে হয় তা পর্যায়ক্রমে শিখি।
মূল নিয়ম: শুধু সদৃশ করণীর যোগ ও বিয়োগ করা যায়। অসদৃশ করণীর যোগফল শুধু লেখা যায়, সরল করা যায় না।
যেহেতু a ও b এর যোগফল = a + b, ঠিক তেমনই:
√50 = 5√2, √18 = 3√2 — এইভাবে।
একই মূলদ গুণিতক যুক্ত করণীগুলো আলাদা করো।
5√2 + 3√2 = (5+3)√2 = 8√2
সদৃশ বা অসদৃশ যেকোনো করণীকে গুণ ও ভাগ করা যায়।
ভগ্নাংশের হরে করণী থাকলে তাকে সরাতে হয় — এই পদ্ধতিকে করণীমুক্তকরণ বলে।
কোনো করণীর সঙ্গে অথবা একাধিক করণীর যোগ ও বিয়োগ দ্বারা গঠিত অমূলদ সংখ্যার সঙ্গে কোনো উৎপাদক গুণ করে গুণফলটি করণীমুক্ত করা অর্থাৎ একটি মূলদ সংখ্যা পাওয়ার প্রক্রিয়াকে করণীমুক্তকরণ (Rationalisation) বলে।
| করণী | করণী নিরসক উৎপাদক | গুণফল |
|---|---|---|
| √5 | √5 | 5 (মূলদ) |
| 3√2 | √2 বা k√2 | 6 |
| a + √b | a − √b | a² − b |
| √a − √b | √a + √b | a − b |
মিশ্র দ্বিঘাত করণীর এই বিশেষ ধারণাটি পরীক্ষায় খুবই গুরুত্বপূর্ণ।
কোনো মিশ্র দ্বিঘাত করণীর করণী নিরসক উৎপাদকের সঙ্গে ওই করণীর যোগফল ও গুণফল উভয়ই যদি মূলদ সংখ্যা হয়, তবে তাকে ওই মিশ্র দ্বিঘাত করণীর অনুবন্ধী বা পূরক করণী (Conjugate Surd) বলা হয়।
সতর্কতা! (7+√2) এর অনুবন্ধী করণী হল (7−√2), কিন্তু (−7+√2) অনুবন্ধী করণী নয়। যদিও এটি করণী নিরসক উৎপাদক, কারণ (7+√2)+(−7+√2) = 2√2 অমূলদ সংখ্যা।
±√a আকার, a মূলদ কিন্তু পূর্ণবর্গ নয়
a ± √b আকার, a মূলদ সংখ্যা
একই করণীর মূলদ গুণিতক
যোগফল ও গুণফল উভয়ই মূলদ
হরকে মূলদে পরিণত করার প্রক্রিয়া
a² > b² হলে a > b (ধনাত্মক)
৩টি রাউন্ডে ভাগ করা কুইজ — সহজ থেকে কঠিন। প্রতিটি প্রশ্নের পরে ব্যাখ্যা পাবে।
মোট 15টি প্রশ্ন | তিনটি স্তর: সহজ, মধ্যম, কঠিন
প্রতিটি উত্তরের পর ব্যাখ্যা দেখতে পাবে।
WBBSE পরীক্ষার ধাঁচে সাজানো সমস্যা — সমাধান নিজে করো, তারপর দেখো।
(i) √175 = √(25×7) = 5√7
(ii) 2√112 = 2√(16×7) = 2×4√7 = 8√7
(iii) √108 = √(36×3) = 6√3
√12 = 2√3, √18 = 3√2, √27 = 3√3, √32 = 4√2
= 2√3 + 3√2 + 3√3 − 4√2 = 5√3 − √2
শুদ্ধ: √3, −√5, √(2/3), √7
মিশ্র: 2−√3, 2+√6, (3/5)−√10, 5+√2
যেহেতু 11 > 7 ∴ √11 > √7 (a, b ধনাত্মক এবং a² > b² হলে a > b)
উত্তর: √11 বড়
√48 = 4√3, √27 = 3√3, √20 = 2√5, √75 = 5√3
সদৃশ করণী: √48, √27, √75 (সবই √3 এর মূলদ গুণিতক)
√20 অসদৃশ।
বামদিক = √108 − √75
= √(36×3) − √(25×3) = 6√3 − 5√3 = √3 = ডানদিক ✓
3√48 = 3×4√3 = 12√3
4√75 = 4×5√3 = 20√3
√192 = √(64×3) = 8√3
12√3 − 20√3 + 8√3 = (12−20+8)√3 = 0√3 = 0 ✓
(√2+√3)(√2−√3) = (√2)² − (√3)² = 2 − 3 = −1
= (4+2√3)(2+√3) / [(2−√3)(2+√3)]
লব = 8 + 4√3 + 4√3 + 2×3 = 8 + 8√3 + 6 = 14 + 8√3
হর = 4 − 3 = 1
উত্তর = 14 + 8√3
(√5+√3) এর অনুবন্ধী = (√5−√3)
যোগ: (√5+√3)+(√5−√3) = 2√5 ← কিন্তু এটি অমূলদ!
⚠️ তাহলে এরা সাধারণ অর্থে অনুবন্ধী নয়, কিন্তু পরস্পরের করণী নিরসক উৎপাদক।
গুণফল: (√5+√3)(√5−√3) = 5−3 = 2 ✓ মূলদ
1/x = 1/(2+√3) = (2−√3)/[(2+√3)(2−√3)] = (2−√3)/(4−3) = 2−√3
x + 1/x = (2+√3) + (2−√3) = 4
x+y = 4 (হিসাব উপরে দেখানো হয়েছে)
x−y = 2√3, xy = 1
x²+y² = (x+y)² − 2xy = 16 − 2 = 14
x²−y² = (x+y)(x−y) = 4×2√3 = 8√3
(x²+y²)/(x²−y²) = 14/(8√3) = 7/(4√3) = 7√3/12 ✓
5/(√2+√3) = 5(√2−√3)/[(√2+√3)(√2−√3)] = 5(√2−√3)/(2−3) = −5(√2−√3) = −5√2+5√3
1/(√2−√3) = (√2+√3)/[(√2−√3)(√2+√3)] = (√2+√3)/(2−3) = −(√2+√3) = −√2−√3
= (−5√2+5√3) − (−√2−√3) = −5√2+5√3+√2+√3 = −4√2+6√3
1/x = 1/(√7+√6) = (√7−√6)/(7−6) = √7−√6
x − 1/x = (√7+√6) − (√7−√6) = 2√6
x² + 1/x² = (x − 1/x)² + 2 = (2√6)² + 2 = 24 + 2 = 26
x³ − 1/x³ = (x−1/x)³ + 3×x×(1/x)×(x−1/x) = (2√6)³ + 3×2√6 = 48√6 + 6√6 = 54√6
a + b = [(√5+1)²+(√5−1)²]/[(√5−1)(√5+1)] = [2(5+1)]/(5−1) = 12/4 = 3
a − b = [(√5+1)²−(√5−1)²]/(5−1) = 4×√5×1/4 = √5
(a−b)³/(a+b)³ = (√5)³/3³ = 5√5/27
উত্তর: (c) 4
1/x = 2−√3, তাই x + 1/x = (2+√3)+(2−√3) = 4
উত্তর: (d) 8
4pq = (p+q)² − (p−q)² = 13 − 5 = 8 → pq = 2 ← ভুল। আবার দেখো:
(p+q)² = p²+2pq+q² = 13, (p−q)² = p²−2pq+q² = 5
বিয়োগ: 4pq = 8, ∴ pq = 2 ← কিন্তু উত্তর d=8, যদি প্রশ্ন হয় 4pq
∴ 4pq = 8
(i) √75 = 5√3, √147 = 7√3 → একই মূলদ গুণিতক → সত্য
(ii) √π → π অমূলদ সংখ্যা, মূলদ নয় → দ্বিঘাত করণী নয় → মিথ্যা
উদাহরণ: √5 এবং −√5
যোগ: √5 + (−√5) = 0 ✓ | গুণ: √5 × (−√5) = −5 ✓
আরেকটি: (2+√3) এবং (2−√3)
যোগ = 4 ✓ | গুণ = 4−3 = 1 ✓
উত্তর: (a) 22
= [(5−√3)(5+√3)] × [(√3−1)(√3+1)] = (25−3)(3−1) = 22×2 = 44 ← (b) 44
পুরো অধ্যায়ের পরীক্ষা — WBBSE ফরম্যাটে।
মোট 10টি প্রশ্ন | সময়: 20 মিনিট
MCQ, সত্য-মিথ্যা, শূন্যস্থান ও সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন